篇一：a=ekααt
篇二：a=ekααt篇三：a=ekααt
微分?程、动?系统与混沌导论第6章?维线性系统[书摘]第6章 ?维线性系统
在线性代数领域稍作停留后，现在该回到微分?程了，特别地，要回到求解具有常系数的?维线性系统的任务中来。和线性代数那?章?样，我们要讨论?量的不同情形。
6.1不同特征值
?先考虑线性系统$\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}$，其中$n\timesn$矩阵$\boldsymbolA$具有$n$个不同的实特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$。根据第5章中的结论，存在坐标变换$\boldsymbolT$使得新系统$\boldsymbolY"=(\boldsymbolT^{-1}\boldsymbol{AT})\boldsymbolY$具有如下相当简单的形式：\[\begin{array}{l}{{y"}_1}={\lambda_1}{y_1}\\\;\;\;\;\;\;\vdots\\{{y"}_n}={\lambda_n}{y_n}\end{array}\]其中的线性映射$T$将标准基向量$\boldsymbolE_j$映到属于$\lambda_j$的特征向量$\boldsymbolV_j$。显然，下?形式的函数\[\boldsymbolY(t)=\left(\begin{array}{l}c_1e^{\lambda_1t}\\\vdots\\c_ne^{\lambda_nt}\end{array}\right)\]是$\boldsymbolY"=(\boldsymbolT^{-1}\boldsymbol{AT})\boldsymbolY$满?初值条件$\boldsymbolY(0)=(c_1,\cdots,c_n)$的?个解。与第3章?样，它是这样的唯?解。
由此可得$\boldsymbolX(t)=\boldsymbol{TX}(t)$就是$\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}$的通解，?且这个通解可以写成如下形式\[\boldsymbolX(t)=\sum\limits_{j=1}^nc_je^{\lambda_jt}\boldsymbolV_j.\]现在假设$\boldsymbolA$的特征值中$\lambda_1,\cdots,\lambda_k$为负的，?$\lambda_{k+1},\cdots,\lambda_n$为正的。因为没有零特征值，故此时系统是双曲的。?先，所有从$\boldsymbolV_1,\cdots,\boldsymbolV_k$张成的?空间出发的解都将永远逗留在这个?空间中，这是因为此时$c_{k+1}=\cdots=c_n=0$。其次，每个这样的解在$t\to\infty$时都趋于原点。与平?系统中引?的术语类似，我们称这个?空间为稳定?空间。类似地，$\boldsymbolV_{k+1},\cdots,\boldsymbolV_n$张成的?空间中的解将远离原点。这个?空间称为不稳定?空间。所有其它的解在时间向后时都趋于稳定?空间，?在时间向前时都趋于不稳定?空间。因?这个系统对应于?维的鞍点。例
考虑\[\boldsymbolX"=\left(\begin{array}{l}1&2&-1\\0&3&-2\\0&2&-2\end{array}\right)\boldsymbolX.\]在5.2节中，我们已经看到这个矩阵的特征值为$2,1,-1$，属于它们的特征向量分别为$(3,2,1),(1,0,0),(0,1,2)$。于是矩阵\[\boldsymbolT=\left(\begin{array}{l}3&1&0\\2&0&1\\1&0&2\end{array}\right)\]就将$\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}$化为\[\boldsymbolY"=(\boldsymbolT^{-1}\boldsymbol{AT})\boldsymbolY=\left(\begin{array}{l}2&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right)\boldsymbolY,\]我们可以?刻得到它的解，?$\boldsymbolT$乘以这个解就可以得到$\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}$的通解(如果单为求通解的话，?需坐标变换，因为前?已经求得了特征值及对应的特征向量，从?可以直接写出通解，此处作变换的?的是为了化为标准形)为\[\boldsymbolX(t)={c_1}{e^{2t}}\left(\begin{array}{l}3\\2\\1\end{array}\right)+{c_2}{e^t}\left(\begin{array}{l}1\\0\\0\end{array}\right)+{c_3}{e^{-t}}\left(\begin{array}{l}0\\1\\2\end{array}\right).\]过原点以及$(0,1,2)$的直线就是稳定线，?由$(3,2,1),(1,0,0)$张成的平?是不稳定平?。该系统以及系统$\boldsymbolY"=(\boldsymbolT^{-1}\boldsymbol{AT})\boldsymbolY$的解如图6.1所?。例
如果$3\times3$矩阵$\boldsymbolA$有3个不同的负特征值，则我们可作坐标变换使得系统化成\[\boldsymbolY"=(\boldsymbolT^{-1}\boldsymbol{AT})\boldsymbolY=\left(\begin{array}{l}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\end{array}\right)\boldsymbolY,\]其中$\lambda_3<\lambda_2<\lambda_1<0$。系统的所有解都趋向原点，这样我们就得到了?个?维汇点(见图6.2)。当
初值条件$(x_0,y_0,z_0)$中的3个坐标都?零时，对应的解将沿切于$x$轴(特征值绝对值?的对应坐标)的?向趋于原点。
现在，假设$n\timesn$矩阵$\boldsymbolA$具有$n$个不同特征值，其中$k_1$个实的，$2k_2$个?实的，因?$n=k_1+2k_2$。于是，由第5章可知，存在坐标变换使得系统化成\[\begin{align}x"_j&=\lambda_jx_j\\u"_l&=\alpha_lu_l+\beta_lv_l\\v"_l&=-\beta_lu_l+\alpha_lv_l\end{align},\]这?$j=1,\cdots,k_1,l_1=1,\dots,k_2$。由第3章可知，我们有如下的解：\[\begin{align}x_j(t)&=c_je^{\lambda_jt}\\u_l(t)&=p_le^{\alpha_lt}\cos\beta_lt+q_le^{\alpha_lt}\sin\beta_lt\\v_l(t)&=-p_le^{\alpha_lt}\sin\beta_lt+q_le^{\alpha_lt}\cos\beta_lt.\end{align}\]像前??样，我们可以直接验证这就是通解。于是，我们就证明了：定理
考虑系统$\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}$，其中$\boldsymbolA$具有不同的特征值，$\lambda_1,\cdots,\lambda_{k_1}\in\mathbbR$，?$\alpha_1+\texti\beta_1,\cdots,\alpha_{k_2}+\texti\beta_{k_2}\in\mathbbC$。假设$\boldsymbolT$将$\boldsymbolA$化为标准形\[\boldsymbolT^{-1}\boldsymbol{AT}=\left(\begin{array}{l}\lambda_1\\&\ddots\\&&\lambda_{k_1}\\&&&B_1\\&&&&\ddots\\&&&&&B_{k_2}\end{array}\right),\]其中\[\boldsymbolB_j=\left(\begin{array}{l}\alpha_j&\beta_j\\-\beta_j&\alpha_j\end{array}\right).\]则$\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}$的通解为$\boldsymbol{TY}(t)$，?
\[\boldsymbolY(t)=\begin{pmatrix}{c_1}{e^{{\lambda_1}t}}\\\vdots\\{c_{{k_1}}}{e^{{\lambda_{{k_1}}}t}}\\{a_1}{e^{{\alpha_1}t}}\cos{\beta_1}t+{b_1}{e^{{\alpha_1}t}}\sin{\beta_1}t\\-{a_1}{e^{{\alpha_1}t}}\sin{\beta_1}t+{b_1}{e^{{\alpha_1}t}}\cos{\beta_1}t\\\vdots\\{a_{{k_2}}}{e^{{\alpha_{{k_2}}}t}}\cos{\beta_{{k_2}}}t+{b_{{k_2}}}{e^{{\alpha_{{k_2}}}t}}\sin{\beta_{{k_2}}}t\\-{a_{{k_2}}}{e^{{\alpha_{{k_2}}}t}}\sin{\beta_{{k_2}}}t+{b_{{k_2}}}{e^{{\alpha_{{k_2}}}t}}\cos{\beta_{{k_2}}}t\end{pmatrix}.\]与通常?样，矩阵$\boldsymbolT$的列向量由对应于每个特征值的特征向量(或特征向量的实部和虚部)构成。依然与前??样，具有负实部(正实部)的特征值对应的特征向量张成的?空间为稳定(不稳定)?空间。例
考虑系统\[\boldsymbolX"=\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\boldsymbolX,\]这?的矩阵已经是标准形，其特征值为$\pm\texti,-1$。满?初值条件$(x_0,y_0,z_0)$的解为\[\boldsymbolY(t)=x_0\begin{pmatrix}\cost\\-\sint\\0\end{pmatrix}+y_0\begin{pmatrix}\sint\\-\cost\\0\end{pmatrix}+z_0e^{-t}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\]这就是系统的通解。系统的相图如图6.3所?。稳定线为沿$z$轴的直线，?$xy$平?上的所有解都绕中?为原点的圆周旋转。事实上，其它不在稳定线上的每?个解都位于由“$x^2+y^2$=常数”所确定的$\mathbbR^3$中的圆柱?上，当初值条件$(x_0,y_0,z_0)$中的$z_0\ne0$时，这些解都盘旋地趋向$xy$平?上以$\sqrt{x_0^2+y_0^2}$为半径的圆形解。
例
现在考虑系统$\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}$，其中\[\boldsymbolA=\begin{pmatrix}-0.1&0&1\\-1&1&–1.1\\-1&0&–0.1\end{pmatrix}.\]显然它的特征?程为\[-\lambda^3+0.8\lambda^2-0.81\lambda+1.01=0,\]求得特征值分别为$1,-0.1\pm\texti$。求解?程$(\boldsymbolA-(0.1+\texti)\boldsymbolI)\boldsymbolX=\boldsymbol0$可得属于$-0.1+\texti$的特征向量$(-\texti,1,1)$。记$\boldsymbolV_1=\text{Re}(-\texti,1,1)=(0,1,1),\boldsymbolV_2=\text{Im}(-\texti,1,1)=(-1,0,0)$。再求解?程$(\boldsymbolA-\boldsymbolI)\boldsymbolX=\boldsymbol0$可得属于$\lambda=1$的特征向量$\boldsymbolV_3=(0,1,0)$。从?以$\boldsymbolV_i$为列向量的矩阵\[\boldsymbolT=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}\]
就将$\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}$化为标准形\[\boldsymbolY"=\begin{pmatrix}–0.1&1&0\\-1&–0.1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\boldsymbolY.\]这个系统的不稳定线为$z$轴，?$xy$平?为稳定平?。注意，稳定平?上的所有解都盘旋进?原点。我们称这个系统为?个螺线鞍点(见图6.4)。稳定平?外的典型解都将盘旋趋向于$z$轴，?其$z$坐标增加或减?(原?和译?似乎都有点问题？)(见图6.5)。
6.2调和振?
考虑?对?阻尼的调和振?，它们的?程是：\[\begin{array}{l}x""_1=-\omega_1^2x_1\\x""_2=-\omega_2^2x_2.\end{array}\]通过检验脑海中的$\sin\omegat,\cos\omegat$这样的函数，我们就?乎可以解出这两个?程。然?，让我们再进?步，?先对上?节中的定理在?实特征值情形做些解释，但更重要的是引??些有趣的?何。
先引?两个新变量$y_j=x"_j,j=1,2$，这样?程组就可以改写成下?的系统\[\begin{align}x"_1&=y_j\\y"_j&=-\omega_j^2x_j.\end{align}\]该系统的矩阵形式为$\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}$，其中$\boldsymbolX=(x_1,y_1,x_2,y_2)$，\[\boldsymbolA=\begin{pmatrix}0&1&&\\-\omega_1^2&0&&\\&&0&1\\&&-\omega_2^2&0\end{pmatrix}.\]这个系统的特征值为$\pm\texti\omega_1,\pm\texti\omega_2$。属于$\texti\omega_1,\texti\omega_2$的特征向量分别为$\boldsymbolV_1=(1,\texti\omega_1,0,0),\boldsymbolV_2=(0,0,1,\texti\omega_2)$。记$\boldsymbolW_1,\boldsymbolW_2$分别为$\boldsymbolV_1$的实部和虚部，$\boldsymbolW_3,\boldsymbolW_4$分别为$\boldsymbolV_2$的实部和虚部。像通常业样，令$\boldsymbol{TE}_j=\boldsymbolW_j$，则线性映射$\boldsymbolT$就将系统化为标准形，对就的矩阵为\[\boldsymbolT_{-1}\boldsymbol{AT}=\begin{pmatrix}0&\omega_1&&\\-\omega_1&0&&\\&&0&\omega_2\\&&-\omega_2&0\end{pmatrix}.\]这样就可以得到通解(见上?节的定理)\[\boldsymbolY(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\y_1(t)\\x_2(t)\\y_2(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\cos\omega_1t+b_1\sin\omega_1t\\-a_1\sin\omega_1t+b_1\cos\omega_1t\\a_2\cos\omega_2t+b_2\sin\omega_2t\\-a_2\sin\omega_2t+b_2\cos\omega_2t\end{pmatrix},\]它的形式正像我们所想像的那样。
我们也许会认为事情就?此为?了，因为解的表达式都已经得到了，但是，我们将往前进?步。
显然，每对解$(x_j(t),y_j(t)),j=1,2$都是单个?程的?个以$2\pi/\omega_j$为周期的周期解，但这并不意味着完整的四维解也是?个周期解。事实上，完整的解是?个周期为$\tau$的周期函数当且仅当存在整数$m,n$使得\[\omega_1\tau=m·2\pi,\;\;\;\;\omega_2\tau=n·2\pi.\]从?，为了得到周期性，我们必须有\[\tau=\frac{2\pim}{\omega_1}=\frac{2\pin}{\omega_2},\]这等价于\[\frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{n}{m}.\]即，调和振?的两个频率?必须是?个有理数。在图6.6中，我们画出了当频率?为5/2时系统的?个特解$(x_1(t),x_2(t))$(这是?个平?相图，可以这么想像，有?个沙漏沿$x_1$轴来回摆动，同时沿$x_2$轴来回摆动，合成的相图即如图所?)。
当频率之?为?理数时，情况?常不?样。为了理解这点，我们作另外?个(?家?常熟悉的)坐标变换。?标准形来写，现在的系统是
\[\begin{align}x"_j&=\omega_jy_j\\y"_j&=-\omega_jx_j\end{align}.\]我们引?极坐标$(r_j,\theta_j)$来代替变量$x_j,y_j$。对式?\[r_j^2=x_j^2+y_j^2\]两边求导得得\[2r_jr"_j=2x_jx"_j+2y_jy"_j=2x_jy_j\omega_j-2x_jy_j\omega_j=0.\]于是，对每?个$j$都有$r"_j=0$。同样地，对?程\[\tan\theta_j=\frac{y_j}{x_j}\]求导可得\[(\sec^2\theta_j)\theta"_j=\frac{y"_jx_j-y_jx"_j}{x_j^2}=\frac{-\omega_jr_j^2}{r_j^2\cos^2\theta_j},\]由此可得\[\theta"_j=-\omega_j.\]从?在极坐标下，这些?程就变得?常简单：\[\begin{align}r"_j&=0\\\theta"_j&=-\omega_j\end{align}.\]第?个?程告诉我们，$r_1,r_2$沿任何解都始终为常数。从?，?论我们如何选取$r_1,r_2$的初始值，关于$\theta_j$的?程都是?样的。这样我们就可以将注意?集中到$r_1=r_2=1$的情形。在$\mathbbR^4$中得到的点集是?个环?，也就是油炸圈饼的表?(挺形象了，试想?只蚂蚁既可以沿横截?的?个圆作周期运动，也可以沿纵截?的?个圆作周期运动)。虽然在四维空间中这有点难以想像，但不管怎样，这个集合上有2个独?的变量，即$\theta_1,\theta_2$，?且它们都以$2\pi$为周期的。在这?点上，这类似于$\mathbbR^3$中熟知的环?可以被2个独?的循环?向所参数化(蚂蚁可以?到油炸圈饼的任何?点)。
现在，?程限制在环?上就变成了：\[\begin{align}\theta"_1&=-\omega_1\\\theta"_2&=-\omega_2.\end{align}\]为了?便，我们可将$\theta_1,\theta_2$看成是边长为$2\pi$的正?形中的变量(只要将正?形的对边$\theta_j=0$和$\theta_j=2\pi$粘合起来就得到了环?——注：这已经是?种很好的处理?式了，尽管很难将?个正?形变成四维中的环)。在正?形中，向量场的斜率为常数\[\frac{\theta"_2}{\theta"_1}=\frac{\omega_2}{\omega_1}.\]于是，在正?形中，解都位于斜率为$\omega_2/\omega_1$的直线上。当解到达$\theta_1=2\pi$这条边时(不妨设在$\theta_2=c$处)，它就在$\theta_1=0$的边马上重新出现(($\theta_2$的坐标依然为$c$)，然后以斜率$\omega_2/\omega_1$再继续向前。在解到达$\theta_2=2\pi$时，将会出现类似的等同。
这样，我们就对解在环?上的?为有了?个简化的?何图像(什么时候，国内的书能写得如此简明?透彻呢?)。将会出现什么呢？答案依赖于$\omega_2/\omega_1$的取值。如果这个值为有理数，?如，$n/m$，则解从$(\theta_1(0),\theta_2(0))$出发将垂直经过环?$n$次、?平经过环?$m$次之后再回到出发点。这就是我们上?观察到的周期解。有时，直线解在$\theta_1\theta_2$平?上的图像和图6.6中所画出的$x_1x_2$平?上的图像并不完全?样。
在?理情形，将会出现?些很不同的情况(见图6.7)。为了理解现在出现的情况，让我们回到第1章讨论过的庞加莱映射的概念。考虑圆周$\theta_1=0$，也就是环?正?形表?中的左边。任给该圆周上的?个初值，?如，$\theta_2=x_0$，我们跟随从该点出发的解?直到它下次再到达$\theta_1=2\pi$。由于环?是等同正?形的对边得到的，解现在实际上就是回到了出发的圆周$\theta_1=0$。在这个进?过程中，解有可能会穿过边界$\theta_2=2\pi$?次，但它最终会回到$\theta_1=0$。因?我们可以定义$\theta_1=0$上的庞加莱映射如下：庞加莱映射在圆周上$x_0$处的取值就是?次返回点的相应坐标。假设?次返回出现在点$\theta_2(\tau)$处，其中$\tau$是满?$\theta_1(\tau)=2\pi$的时刻。由于$\theta_1(t)=\theta_1(0)+\omega_1t$，因?$\tau=2\pi/\omega_1$。从?$\theta_2(t)=x_0+\omega_2(2\pi/\omega_1)$。于是在这个圆周上的庞加莱映射可以写成\[f({x_0})={x_0}+2\pi({\omega_2}/{\omega_1})\;\bmod\;2\pi\]其中$x_0=\theta_2(0)$是初值在这个圆周上的$\theta_2$坐标(见图6.8)(上式可理解为初始位置在$x_0$，步长为$2\pi(\omega_2/\omega_1)$的?种运动，只是要进?模$2\pi$，并依次记录点的轨迹，因此也是?种迭代过程)。于是，该圆周上的庞加莱映射就是将圆周上的点旋转?度$2\pi(\omega_2/\omega_1)$这个函数。由于$\omega_2/\omega_1$是?理
的，这个函数称为圆周上的?理旋转。定义
点集$x_0,x_1=f(x_0),x_2=f(f(x_0)),\cdots,x_n=f(x_{n-1})$称为$x_0$在$f$迭代下的轨道。$x_0$的轨道记录了当时间增加时，解是如何穿过$\theta_1=2\pi$的(?下之意是另?个变量的状态是什么样的)。命题
假设$\omega_2/\omega_1$是?理数，则圆周$\theta_1=0$上任何初值$x_0$的轨道在该圆周上都是稠密的(意思是?乎充满整个圆周)。证明详见书本。
因为$x_0$的轨道在圆周$\theta_1=0$上是稠密的，从?在正?形中将这些点连接起来的直线解也是稠密的，于是原来的解在其所在的环?上不稠密的。这就解释了为什么当$\omega_2/\omega_1=\sqrt2$时，解如图6.7所?到$x_1x_2$平?时会稠密地布满。
回到振?的实际运动，我们就得到当$\omega_2/\omega_1$为?理数时，两个质点的运动并不是周期的。然?，由于解在环?上的稠密性，当时间增加时，它们?的确会?次次地回到?常靠近初始位置的地?。这种形式的运动称为拟周期运动。
6.3重特征值
在上?章中，我们已经看到，具有实重特征值系统的求解归结为求解其矩阵含有如下形式的块的系统(如果存在不唯?解的重特征值呢？)：\[\left(\begin{array}{l}\lambda&1\\&\lambda&1\\&&\ddots\ddots\\&&&\ddots&1\\&&&&\lambda\end{array}\right).\]例
令\[\boldsymbolX"=\begin{pmatrix}\lambda&1&0\\0&\lambda&1\\0&0&\lambda\end{pmatrix}\boldsymbolX.\]这个系统唯?的特征值就是$\lambda$，?且唯?的特征向量(1,0,0)。我们像在第3章所做的那样来求解这个系统。?先，由于$x"_3=\lambdax_3$，故必有\[x_3(t)=c_3e^{\lambdat},\]进?有，\[x"_2=\lambdax_2+c_3e^{\lambdat}.\]与第3章?样，我们猜测它有如下形式的解：\[x_2(t)=c_2e^{\lambdat}+\alphate^{\lambdat}.\]将上式代?$x"_2$的微分?程，可以定出$\alpha=c_3$，从?找到\[x_2(t)=c_2e^{\lambdat}+c_3te^{\lambdat}.\]最后，?程\[x"_1=\lambdax_1+c_2e^{\lambdat}+c_3te^{\lambdat}\]让?联想起下?形式的解：\[x_1(t)=c_1e^{\lambdat}+\alphate^{\lambdat}+\betat^2e^{\lambdat}.\]像刚才?样的求解可得\[x_1(t)=c_1e^{\lambdat}+c_2te^{\lambdat}+c_3\frac{t^2}{2}e^{\lambdat}.\]总之，我们找到了\[\boldsymbolX(t)=c_1e^{\lambdat}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+c_2e^{\lambdat}\begin{pmatrix}t\\1\\0\end{pmatrix}+c_3e^{\lambdat}\begin{pmatrix}t^2/2\\t\\1\end{pmatrix}\]它就是系统的通解。虽然解的表达式中出现了多项式项，但当$\lambda<0$时，指数将起主导作?，?且所有的解都趋于零。当$\lambda<0$时，?些有代表性的解如图6.9所?。注意，该系统只有唯?的直线解(关于直线解的概念，可以参考
2.3节和2.6节，对于实特征值对应的特征向量就是直线解)，该解位于$x$轴上，?且$xy$平?是不变的，其上解的形态与平?重特征值情形完全相同。例
考虑下?的四维系统：\[\begin{align}x"_1&=x_1+x_2-x_3\\x"_2&=x_2+x_4\\x"_3&=x_3+x_4\\x"_4&=x_4\end{align}\]我们可以将该系统写成如下的矩阵形式：\[\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}=\begin{pmatrix}1&1&-1&0\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}\boldsymbolX.\]因为$\boldsymbolA$为上三?的，故它的所有特征值都是1。求解$(\boldsymbolA-\boldsymbolI)\boldsymbolX=\boldsymbol0$可找到两个线性?关的特征向量$\boldsymbolV_1=(1,0,0,0),\boldsymbolW_1=(0,1,1,0)$。这就将$\boldsymbolA$可能的标准形减少到两种。进?步求解$(\boldsymbolA-\boldsymbolI)\boldsymbolX=\boldsymbolV_1$可得?个解$\boldsymbolV_2=(0,1,0,0)$，求解$(\boldsymbolA-\boldsymbolI)\boldsymbolX=\boldsymbolW_1$可得?个解$\boldsymbolW_2=(0,0,0,1)$(这种?法的理论可参考5.5节的内容)。由此，我们知道系统$\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}$可以变换成\[\boldsymbolY"=(\boldsymbolT^{-1}\boldsymbol{AT})\boldsymbolY=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}\boldsymbolY,\]其中矩阵$\boldsymbolT$由下式给出：\[\boldsymbolT=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\]于是$\boldsymbolY"=(\boldsymbolT^{-1}\boldsymbol{AT})\boldsymbolY$的解为(重特征值情形下求通解可参考3.3节的内容)\[\begin{align}y_1(t)&=c_1e^t+c_2te^t\\y_2(t)&=c_2e^t\\y_3(t)&=c_3e^t+c_4te^t\\y_4(t)&=c_4e^t.\end{align}\]再?坐标变换$\boldsymbolT$作?，我们就得到了原系统的通解为\[\begin{align}x_1(t)&=c_1e^t+c_2te^t\\x_2(t)&=c_2e^t+c_3e^t+c_4te^t\\x_3(t)&=c_3e^t+c_4te^t\\x_4(t)&=c_4e^t.\end{align}\]
6.4矩阵指数
现在，我们转到矩阵指数求解线性系统，这是解线性系统的?个不同但简练的?法。从某种意义上讲，这是攻克这类系统?然的?法。
我们先回忆1.1节中是如何求解线性?程$x"=ax$的$1\times1$“系统”，其中我们的矩阵就是简单的$(a)$。那时我们并没有进?找特征值和特征向量的过程，(然?，事实上，我们进?了，但过程实在是太简单了。)?是直接取矩阵$(a)$的指数函数就找到了通解$x(t)=c\text{exp}(at)$。事实上，这个过程对?般$n\timesn$矩阵$\boldsymbolA$也是?得通的。我们唯?需要知道的就是如何求?个矩阵的指数。
办法如下。由微积分可知，指数函数可以表?成?个?穷级数\[e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!},\]?且我们知道对每个$x\in\mathbbR$这个级数都收敛。由于我们可以将矩阵相加，可以取它们的$k$次?，还可以将矩阵的每个元素乘上$1/k!$，这将意味着我们?样可以?上?的级数去取它们的指数。定义
设$\boldsymbolA$为?个$n\timesn$矩阵。我们定义$\boldsymbolA$的指数是由下式给出的矩阵：\[\text{exp}(\boldsymbolA)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\boldsymbolA^k}{k!}.\]
当然，我们还要担?上?矩阵和式收敛的含义。例
令\[\boldsymbolA=\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&\mu\end{pmatrix}.\]则我们有
\[\boldsymbolA^k=\begin{pmatrix}\lambda^k&0\\0&\mu^k\end{pmatrix},\]于是\[\text{exp}(\boldsymbolA)=\begin{pmatrix}\sum\limits_{k=0}^\infty\lambda^k/k!&0\\0&\sum\limits_{k=0}^\infty\mu^k/k!\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^\lambda&0\\0&e^\mu\end{pmatrix},\]这个结果?家可能已经事先猜到。例
下?来看?个稍等复杂些的例?。令\[\boldsymbolA=\begin{pmatrix}0&\beta\\-\beta&0\end{pmatrix}.\]由计算可得\[\text{exp}(\boldsymbolA)=\begin{pmatrix}\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{\beta^{2k}}{(2k)!}&\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{\beta^{2k+1}}{(2k+1)!}\\-\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{\beta^{2k+1}}{(2k+1)!}&\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{\beta^{2k}}{(2k)!}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\beta&\sin\beta\\-\sin\beta&\cos\beta\end{pmatrix}.\]例
现在令\[\boldsymbolA=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix},\]其中$\lambda\ne0$。为了照顾随后的应?，我们来计算$\text{exp}(t\boldsymbolA)$，?不是$\text{exp}A)$。我们有\[(t\boldsymbolA)^k=\begin{pmatrix}(t\lambda)^k&kt^k\lambda^{k-1}\\0&(t\lambda)^k\end{pmatrix}.\]于是我们得到\[\text{exp}(t\boldsymbolA)=\begin{pmatrix}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(t\lambda)^k}{k!}&t\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(t\lambda)^k}{k!}\\0&\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(t\lambda)^k}{k!}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{t\lambda}&te^{t\lambda}\\0&e^{t\lambda}.\end{pmatrix}\]
可以看到，在上?3个例?中，矩阵$\text{exp}(\boldsymbolA)$的元素都是?些?穷级数。因此，我们称矩阵?穷级数$\text{exp}(\boldsymbolA)$绝对收敛，如果每?个单独的项绝对收敛。在上?的?种情形中，收敛性是显然的。遗憾的是，对于?般的矩阵$\boldsymbolA$，收敛性并不清楚。为了证明这?的收敛性，我们需要做?些努?。
记$a_{ij}(k)$为$\boldsymbolA^k$的$ij$元素。令$a=\text{max}|a_{kj}|$。我们有\[|a_{ij}(k)|\len^{k-1}a^k.\]于是，我们得到了$n\timesn$矩阵$\text{exp}(\boldsymbolA)$的$ij$元素的?个上界：\[\Bigg|\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{a_{ij}(k)}{k!}\Bigg|\le\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{|a_{ij}(k)|}{k!}\le\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{n^{k-1}a^k}{k!}\le\text{exp}(na),\]因此，根据?较判别法，这个级数绝对收敛。这样，对任何$\boldsymbolA\inL(\mathbbR^n),\text{exp}(\boldsymbolA)$有意义。
下?的结果表明，矩阵指数也具有通常指数函数的许多熟悉的性质。命题
设$\boldsymbolA,\boldsymbolB,\boldsymbolT$都是$n\timesn$矩阵，则(1)如果$\boldsymbolB=\boldsymbolT^{-1}\boldsymbol{AT}$，则$\text{exp}(\boldsymbolB)=\boldsymbolT^{-1}\text{exp}(\boldsymbolA)\boldsymbolT$。(2)如果$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$，则$\text{exp}(\boldsymbolA+\boldsymbolB)=\text{exp}(\boldsymbolA)\text{exp}(\boldsymbolB)$。(3)$\text{exp}(-\boldsymbolA)=(\text{exp}(\boldsymbolA))^{-1}$。证明详见书本。注意，命题中论断(3)意味着，对每?个矩阵$\boldsymbolA,\text{exp}(\boldsymbolA)$都可逆。这?点类似于对每个实数$a,e^a\ne0$。
在$\boldsymbolA$和$\text{exp}(\boldsymbolA)$的特征向量之间有?个很简单的关系：命题
如果$\boldsymbolV\in\mathbbR^n$是$\boldsymbolA$的属于特征值$\lambda$的特征向量，则$\boldsymbolV$也是$\text{exp}(\boldsymbolA)$的特征向量，它属于$e^\lambda$。
现在我们回到微分?程系统的讨论。令$\boldsymbolA$为$n\timesn$矩阵，考虑系统$\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}$。回想我们以前?$L(\mathbbR^n)$记全体$n\timesn$矩阵的集合。把每个$t\in\mathbbR$映到$\text{exp}(t\boldsymbolA)$就得到了?个函数$\mathbbR\toL(\mathbbR^n)$。由于我们将$L(\mathbbR^n)$等同于$\mathbbR^{n^2}$，因?谈论这个函数的导数是有意义的。命题\[\frac{\textd}{\textdt}\text{exp}(t\boldsymbolA)=\boldsymbolA\text{exp}(t\boldsymbolA)=\text{exp}(t\boldsymbolA)\boldsymbolA.\]换句话说，矩阵值函数$t\to\text{exp}(t\boldsymbolA)$的导数是另?个矩阵值函数$\boldsymbolA\text{exp}(t\boldsymbolA)$。
现在我们回到求解微分?程系统。下?的结论可以看成是具有常系数的线性微分?程组的基本定理。定理
设$\boldsymbolA$为$n\timesn$矩阵，则初值问题$\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX},\boldsymbolX(0)=\boldsymbolX_0$的解为$\boldsymbolX(t)=\text{exp}(t\boldsymbolA)\boldsymbolX_0$，?且它是唯?解。例
考虑系统\[\boldsymbolX"=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}\boldsymbolX.\]根据上?的定理，它的通解为\[\boldsymbolX(t)=\text{exp}(t\boldsymbolA)\boldsymbolX_0=\text{exp}\begin{pmatrix}t\lambda&t\\0&t\lambda\end{pmatrix}\boldsymbolX_0.\]这其中的矩阵指数在前?已经算过，于是我们有\[\boldsymbolX(t)=\begin{pmatrix}e^{t\lambda}&te^{t\lambda}\\0&e^{t\lambda}\end{pmatrix}\boldsymbolX_0.\]可以看出，这与第3章中的计算结果相吻合。
6.5??治线性系统
直到现在，?乎所有碰到的线性微分?程系统都是?治的。但是，在应?中还是经常会出现?些形式的??治系统。其中之?就是如下形式的系统\[\boldsymbolX"=\boldsymbolA(t)\boldsymbolX,\]其中$\boldsymbolA(t)=[a_{ij}(t)]$为$n\timesn$矩阵，它连续地依赖于时间。当以后章节中遇到变分?程时，我们会再深?研究这类系统。
现在我们只关系另?个不同的??治线性系统：\[\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}+\boldsymbolG(t),\]其中$\boldsymbolA$为常值的$n\timesn$矩阵，$\boldsymbolG:\mathbbR\to\mathbbR^n$显式地依赖于$t$，我们称之为强迫项。这是?个?阶线性??治?程系统。例(受迫调和振?)如果调和振?系统中有?个外?作?，决定运动的微分?程就变成\[x""+bx"+kx=f(t),\]其中$f(t)$为外?的??。?个重要的特殊情形是其中的外?是时间的周期函数，这可对应于，??说，将质点-弹簧装置所在的桌?前后周期地移动。作为?个系统，受迫调和振??程变成\[\boldsymbolX"=\begin{pmatrix}0&1\\-k&-b\end{pmatrix}\boldsymbolX+\boldsymbolG(t),\;\;\;\boldsymbolG(t)=\begin{pmatrix}0\\f(t)\end{pmatrix}.\]
对?个?齐次的系统，如果将其中的时间项扔掉后，所得的系统$\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}$称为齐次?程。我们已经知道如何找到这类系统的通解。利?上节中的记号，齐次系统满?初值条件$\boldsymbolX(0)=\boldsymbolX_0$的解为\[\boldsymbolX(t)=\text{exp}(t\boldsymbolA)\boldsymbolX_0,\]
?这也是齐次?程的通解。
为了找到?齐次?程的通解，假设我们已经有了该?程的?个特解$\boldsymbolZ(t)$。于是$\boldsymbolZ"(t)=\boldsymbol{AZ}(t)+\boldsymbolG(t)$。当$\boldsymbolX(t)$为齐次?程的任?个解时，则函数$\boldsymbolY(t)=\boldsymbolX(t)+\boldsymbolZ(t)$就是?齐次?程的另?个解。这点可由如下的计算得出：\[\begin{align}\boldsymbolY"=\boldsymbolX"+\boldsymbolZ"&=\boldsymbol{AX}+\boldsymbol{AZ}+\boldsymbolG(t)\\&=\boldsymbolA(\boldsymbolX+\boldsymbolZ)+\boldsymbolG(t)\\&=\boldsymbol{AY}+\boldsymbolG(t).\end{align}\]因?，由于已经了齐次?程的所有解，?旦找到了?齐次?程的哪怕只是?个特解，我们就马上可以找到?齐次?程的通解。通常，我们可以通过猜解得到这样?个解(微积分中，这种?法通常称为待定系数法)。然?，猜解并不总是可?。下?的参数变易法却总是可?的，当然，这并不能保证我们总能计算其中的积分。定理(参数变易法)考虑?齐次?程\[\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}+\boldsymbolG(t),\]其中$\boldsymbolA$为常值的$n\timesn$矩阵，$\boldsymbolG(t)$为$t$的连续函数。则\[\boldsymbolX(t)=\exp(t\boldsymbolA)\left({{\boldsymbolX_0}+\int_0^t{\exp(-s\boldsymbolA)\boldsymbolG(s)\textds}}\right)\]是该?程满?$\boldsymbolX(0)=X_0$的?个解。(对?程两边求导即可验证)
下?我们来给出这个结果在周期受迫调和振?中的?个应?。?先，假设有个外?为$\cost$的阻尼振?，此时外?项的周期为$2\pi$。这个系统为\[\boldsymbolX"=\boldsymbol{AX}+\boldsymbolG(t),\]其中$\boldsymbolG(t)=(0,\cost),\boldsymbolA$为矩阵\[\boldsymbolA=\begin{pmatrix}0&1\\-k&-b\end{pmatrix},\]其中$b,k>0$。我们断?：这个系统有唯??个以$2\pi$为周期的周期解。为了证明这个断?，我们?先需要找到?个满?条件$\boldsymbolX(0)=\boldsymbolX_0=\boldsymbolX(2\pi)$的解。由参数变易法，我们需要找到$\boldsymbolX_)$使得\[{\boldsymbolX_0}=\exp(2\pi\boldsymbolA){\boldsymbolX_0}+\exp(2\pi\boldsymbolA)\int_0^{2\pi}{\exp(-s\boldsymbolA)\boldsymbolG(s)\textds.}\]现在其中?项\[\exp(2\pi\boldsymbolA)\int_0^{2\pi}\exp(-s\boldsymbolA)\boldsymbolG(s)\textds\]为常值向量，将它记为$\boldsymbolW$。这样我们就要求解?程\[(\exp(2\pi\boldsymbolA)-\boldsymbolI)\boldsymbolX_0=-\boldsymbolW.\]由于$\exp(2\pi\boldsymbolA)-\boldsymbolI$可逆，这个?程有唯?解。为了证明这个矩阵的可逆性，假设它是不可逆的，则有?零向量$\boldsymbolV$使得\[(\exp(2\pi\boldsymbolA)-\boldsymbolI)\boldsymbolV=\boldsymbol0,\]或者，换句话说，矩阵$\exp(2\pi\boldsymbolA)$有?个特征值为1。但是，由上节可知，$\exp(2\pi\boldsymbolA)$的特征值都由$\exp(2\pi\lambda_j)$给出，其中$\lambda_j$为$\boldsymbolA$的特征值。由于每个$\lambda_j$的实部都?于0，从?$\exp(2\pi\lambda_j)$?于1，于是矩阵$\exp(2\pi\boldsymbolA)-\boldsymbolI$的确是可逆的。这样导致$2\pi$周期解的唯?初值(这多少有点出?意料，是不是周期解不仅依赖强迫项，同时还依赖初值，并且这样的初值还是唯?的!!)就是\[\boldsymbolX_0=(\exp(2\pi\boldsymbolA)-\boldsymbolI)^{-1}(-\boldsymbolW).\]
令$\boldsymbolX(t)$为满?$\boldsymbolX(0)=\boldsymbolX_0$的周期解。这个解称为稳态解。如果$\boldsymbolY_0$是其它的初值条件，我们可将它写成$\boldsymbolY_0=(\boldsymbolY_0-\boldsymbolX_0)+\boldsymbolX_0$，从?过$\boldsymbolY_0$的解为\[\begin{align}\boldsymbolY(t)&=\exp(t\boldsymbolA)({\boldsymbolY_0}-{\boldsymbolX_0})+\exp(t\boldsymbolA){\boldsymbolX_0}+\exp(t\boldsymbolA)\int_0^t{\exp(-s\boldsymbolA)\boldsymbolG(s)\textds}&=\exp(t\boldsymbolA)({\boldsymbolY_0}-{\boldsymbolX_0})+\boldsymbolX(t).\end{align}\]
对于表达式中的第?项，由于它是齐次?程的?个解，因?在$t\to\infty$时，趋于0(只是针对本例??，因为是带阻尼的)。于是，这个系统的每个解在$t\to\infty$时都趋于稳态解。在物理上，这?点很明显的：带阻尼的(?受迫)调和振?的运动都趋于平衡态，剩下的运动就是由周期外?引起的。这样，我们就证明了：定理
考虑受迫带阻尼的调和振??程\[x""+bx"+kx=\cost,\]其中$,b>0$。则这个?程的所有解都趋于?个以$2\pi$为周期的稳态解。
现在考虑?个受迫的?阻尼调和振?的特例：\[\boldsymbolX"=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\boldsymbolX+\begin{pmatrix}0\\\cos\omegat\end{pmatrix},\]其中，现在外?的周期为$2\pi/\omega,\omega\ne\pm1$。记\[\boldsymbolX=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.\]齐次?程的解为\[\boldsymbolX(t)=\exp(t\boldsymbolA)\boldsymbolX_0=\begin{pmatrix}\cost&\sint\\-\sint&\cost\end{pmatrix}\boldsymbolX_0.\]由参数变易法可知，?齐次?程从原点出发的解为\[\begin{align}\boldsymbolY(t)&=\exp(t\boldsymbolA)\int_0^t\exp(-s\boldsymbolA)\begin{pmatrix}0\\\cos\omegas\end{pmatrix}\textds\\&=\exp(t\boldsymbolA)\int_0^t\begin{pmatrix}\coss&-\sins\\\sins&\coss\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\\cos\omegas\end{pmatrix}\textds\\&=\exp(t\boldsymbolA)\int_0^t\begin{pmatrix}-\sins\cos\omegas\\\coss\cos\omegas\end{pmatrix}\textds\\&=\frac{1}{2}\exp(t\boldsymbolA)\int_0^t\begin{pmatrix}\sin(\omega-1)s-\sin(\omega+1)s\\\cos(\omega-1)s+\cos(\omega+1)s\end{pmatrix}\textds.\end{align}\]回想到\[\exp(t\boldsymbolA)=\begin{pmatrix}\cost&\sint\\-\sint&\cost\end{pmatrix},\]然后利?$\omega\ne\pm1$的事实，算出其中的积分值再经过?个长的计算过程后就得到\[\begin{align}\boldsymbolY(t)&=\frac{1}{2}\exp(t\boldsymbolA)\begin{pmatrix}\frac{{-\cos(\omega-1)t}}{{\omega-1}}+\frac{{\cos(\omega+1)t}}{{\omega+1}}\\\frac{{sin(\omega-1)t}}{{\omega-1}}+\frac{{sin(\omega+1)t}}{{\omega+1}}\end{pmatrix}+\exp(t\boldsymbolA)\begin{pmatrix}{({\omega^2}-1)^{-1}}\\0\end{pmatrix}\\&=\frac{1}{{{\omega^2}-1}}\begin{pmatrix}-\cos\omegat\\\omega\sin\omegat\end{pmatrix}+\exp(t\boldsymbolA)\begin{pmatrix}{({\omega^2}-1)^{-1}}\\0\end{pmatrix}.\end{align}\]这样就得到了原?程的通解为(因为上式为初值为零时，原?程的通解，加上初值为$X_0$时，相应齐次?程的通解，即得到初值为$X_0$的?齐次?程的通解)\[\boldsymbolY(t)=\exp(t\boldsymbolA)\left(\boldsymbolX_0+\begin{pmatrix}{({\omega^2}-1)^{-1}}\\0\end{pmatrix}\right)+\frac{1}{{{\omega^2}-1}}\begin{pmatrix}-\cos\omegat\\\omega\sin\omegat\end{pmatrix}.\]这个表达式中的第?项是以$2\pi$为周期的，?第?项是以$2\pi/\omega$为周期的。与有阻尼的情形不同，现在的解不?定会有周期运动。事实上，这个解为周期的当且仅当$\omega$是?个有理数。当$\omega$为?理数时，这个运动是拟周期的，这正好与6.2节中看到的情形是?样的。?结：本章主要讨论了?维线性系统解的特性，通过调和振?的例?，引?了?些新的概念，如?理旋转，拟周期。着重讨论了重特征值情形下解的形式和性质，需要结合5.5节中相关内容进?学习，即重特征值情形下如何求特征向量。最后讨论了?个??治线性系统的例?，?以说明强迫项、稳态解等。
篇四：a=ekααt
、希腊字母：
α——阿尔法
β——贝塔
γ——伽马
Δ——德尔塔
ξ——可sei
ψ——可赛
ω——奥秘噶
μ——米哟
λ——南木打
σ——西格玛
τ——套
φ——fai2、数学运算符：
∑—连加号
∏—连乘号
∪—并
∩—补
∈—属于
∵—因为
∴—所以
√—根号
‖—平行
⊥—垂直
∠—角
⌒—弧
⊙—圆
∝—正比于
∞—无穷
∫—积分
≈—约等
≡—恒等
3、三角函数：
sin—赛因
cos—考赛因
tan—叹近体
cot—考叹近体
sec—赛看近体
csc—考赛看近体
序号
大写
小写
英文注音
国际音标注音
中文注音
1Ααalphaa:lf阿尔法
2Ββbetabet贝塔
3Γγgammaga:m伽马
4Δδdeltadelt德尔塔
5Εεepsilonep`silon伊普西龙
6Ζζzetazat截塔
7Ηηetaeit艾塔
8Θθthetθit西塔
9Ιιiotaiot约塔
10Κκkappakap卡帕
11Λλlambdalambd兰布达
12Μμmumju缪
13Ννnunju纽
14Ξξxiksi克西
15Οοomicronomik`ron奥密克戎
16Ππpipai派
17Ρρrhorou肉
18Σσsigma`sigma西格马
19Ττtautau套
20Υυupsilonjup`silon宇普西龙
21Φφphifai佛爱
22Χχchiphai西
23Ψψpsipsai普西
24Ωωomegao`miga欧米伽
希腊字母的正确读法是什么？
1Ααalphaa:lf阿尔法
2Ββbetabet贝塔
3Γγgammaga:m伽马
4Δδdeltadelt德尔塔
5Εεepsilonep`silon伊普西龙
6Ζζzetazat截塔
7Ηηetaeit艾塔
8Θθthetθit西塔
9Ιιiotaiot约塔
10Κκkappakap卡帕
11∧
λlambdalambd兰布达
12Μμmumju缪
13Ννnunju纽
磁阻系数
14Ξξxiksi克西
15Οοomicronomik`ron奥密克戎
16∏πpipai派
17Ρρrhorou肉
18∑σsigma`sigma西格马
19Ττtautau套
20Υυupsilonjup`silon宇普西龙
21Φφphifai佛爱
22Χχchiphai西
23Ψψpsipsai普西
角速；
24Ωωomegao`miga欧米伽
希腊字母读法
Αα：阿尔法
Alpha
Ββ：贝塔
Beta
Γγ：伽玛
Gamma
Δδ：德尔塔
Delte
Εε：艾普西龙
Epsilon
ζ：捷塔
Zeta
Ζη：依塔
Eta
Θθ：西塔
Theta
Ιι：艾欧塔
Iota
Κκ：喀帕
Kappa
∧λ：拉姆达
Lambda
Μμ：缪
Mu
Νν：拗
Nu
Ξξ：克西
Xi
Οο：欧麦克轮
Omicron
∏π：派
Pi
Ρρ：柔
Rho
∑σ：西格玛
Sigma
Ττ：套
Tau
Υυ：宇普西龙
Upsilon
Φφ：faiPhi
Χχ：器
Chi
Ψψ：普赛
Psi
Ωω：欧米伽
Omega
数学符号大全
2008年01月29日
星期二15:25因为自然科学的讨论经常要用到数学，但用文本方式只能表达
L!td5wxr^|$sY
左右结构的数学公式，上下结构、根式、指数等都很难表达。为了
便于广大网友在讨论中有一种统一的相互能共通的用文本方式表达
*z;|(TH^pa1F
数学公式的方法，汇总诸位热心数学网友的意见后，在本版提出以
`JRz"@/X
下的用文本方式表达（原非文本结构的）数学公式的初步的标准：
x^n
表示x的n次方，如果n是有结构式，n应外引括号；
（有结构式是指多项式、多因式等表达式）
tc|*@|6_6C,wD(V
x^(n/m)
表示x的n/m次方；
SQR(x)
表示x的开方；
L#}Ef;E;f
1|H#[%yp
sqrt(x)
表示x的开方；
9U`4?Nd
√(x)
表示x的开方,
如果x为单个字母表达式，x的开方可简表为√x；
1J;r6u^}
x^(-n)
表示x的n次方的倒数；
x^(1/n)
表示x开n次方；
log_a,b
表示以a为底b的对数;8MHD4w5_A(wDp
x_n
表示x带足标n;
∑(n=p,q)f(n)
表示f(n)的n从p到q逐步变化对f(n)的连加和，Y-t2lP+R"r
如果f(n)是有结构式，f(n)应外引括号；
6a7t}0zHA%tSa(X
6f+wQQ0OWY
∑(n=p,q;r=s,t)f(n,r)
表示
∑(r=s,t)[∑(n=p,q)f(n,r)],
8w3b]5{w!Jr
如果f(n，r)是有结构式，f(n，r)应外引括号；
FpjCG+PN7odl?F
vpaqfL}h
∏(n=p,q)f(n)
表示f(n)的n从p到q逐步变化对f(n)的连乘积,
如果f(n)是有结构式，f(n)应外引括号；
&~R0is#uO"J
∏(n=p,q;r=s,t)f(n,r)
表示
∏(r=s,t)[∏(n=p,q)f(n,r)],
如果f(n，r)是有结构式，f(n，r)应外引括号；
"O|gi%Yn
lim(x→u)f(x)
表示f(x)的x趋向u时的极限,
如果f(x)是有结构式，f(x)应外引括号；
5aI#@?%K@~!K
lim(y→v;x→u)f(x,y)表示
lim(y→v)[lim(x→u)f(x,y)],
d&u{"?0tAKuMD
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
OX-}b"vRT9w
∫(a,b)f(x)dx
表示对f(x)从x=a至x=b的积分,7cT;y`n(P)k\Gk)J
如果f(x)是有结构式，f(x)应外引括号；
∫(c,d;a,b)f(x,y)dxdy
表示∫(c,d)[∫(a,b)f(x,y)dx]dy,
o*M4vN}md
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
,H*Fh9Z1Mj[(R
∫(L)f(x,y)ds
表示f(x,y)在曲线L上的积分,
3|[^4l3GH
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
@Ve2g{;t+mS
∫∫(D)f(x,y,z)dσ
表示f(x,y,z)在曲面D上的积分,
如果f(x，y，z)是有结构式，f(x，y，z)应外引括号；
T{(Trx^$M(_
∮(L)f(x,y)ds
表示f(x,y)在闭曲线L上的积分,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∮∮(D)f(x,y,z)dσ
表示f(x,y,z)在闭曲面D上的积分,
POexo+?kN.c
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
;l.i6Ho7_/}no.N
∪(n=p,q)A(n)
表示n从p到q之A(n)的并集，-`oc`;\rL[
如果A(n)是有结构式，A(n)应外引括号；
7E{K)T.b_
/qtcgr2i7f
∪(n=p,q;r=s,t)A(n,r)
表示
∪(r=s,t)[∪(n=p,q)A(n,r)],
#VHFucI.ekw\F
如果A(n，r)是有结构式，A(n，r)应外引括号；
^yi6a?3kT
ry_k9`!M
∩(n=p,q)A(n)
表示n从p到q逐步变化对A(n)的交集,Q/G0`0v{
如果A(n)是有结构式，A(n)应外引括号；
∩(n=p,q;r=s,t)A(n,r)
表示
∩(r=s,t)[∩(n=p,q)A(n,r)],
如果A(n，r)是有结构式，A(n，r)应外引括号；
M.s@I4sU+w`G\
……。
m9jn#nv&OT4a
当文本格式表达找不到表达符的表达代替字符初步标准有：
a（≤A
表示a为A的子集；
4zD0CkrdPCp#c
A≥）a
表示A包含a；
a（＜A
表示a为A的真子集；
Z0e|KygM0_&w
A＞）a
表示a为A的真子集；
……。
(ij1[8FK"{_bz"W,f
XVDY4S3]tk@
注：
顺序结构的表达式是按以下的优先级决定运算次序：
#QIteZJvp(P
1.函数；
2.幂运算；
3.乘、除；
4.加、减。
复合函数的运算次序为由内层至外层。
在表达式中如果某有结构式对于前面部分应作整体看待时，应将作整体看待的部分外加括号。例如，相对论运动质量公式
hmj&G!P3aI1SE)U
可表为：
7gcKE1K
m=m0/SQR(1-v^2/c^2)`1TK;j|
=m0/SQR[1-(vv)/(cc)]；
yT^U+i!S
#@HtML
但不能表为
zx4c@~XC
m=m0/SQR(1-vv/cc)；
因上式中的vv/cc会让人误解为v平方除c再乘c。
连加连乘式中的∑∏等字符须用全角字符。如果使用了
T6d)[$iv8J:C
半角的ASCII字符，虽然公式紧凑了，有可能会因不同电脑、不同的软件、不同的设置中使用了不同ASCII字符集(ASCII
扩展字符，最高位为1)会显不同的字符。结果会引起对方的q~,jnJ&?[
误解。
w8[Ys*YS/VKd
各种符号的英文读法
"exclam"＝"!""at"＝"@""numbersign"＝"#""dollar"＝"$""percent"＝"%""caret"＝"^""ampersand"＝"&""asterisk"＝"*""parenleft"＝"(""parenright"＝")""minus"＝"-""underscore"＝"_""equal"＝"=""plus"＝"+""bracketleft"＝"""braceright"＝"}""semicolon"＝";""colon"＝":""quote"＝""""doublequote"＝""""backquote"＝""""tilde"＝"~""backslash"＝"\""bar"＝"|""comma"＝",""less"＝"<""period"＝".""greater"＝">""slash"＝"/""question"＝"?""space"＝""~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
￣hyphen连字符
"apostrophe省略号；所有格符号
—dash破折号
‘’singlequotationmarks单引号
“”doublequotationmarks双引号
()parentheses圆括号
squarebrackets方括号
Anglebracket{}Brace《
》Frenchquotes法文引号；书名号...ellipsis省略号
¨tandemcolon双点号
"ditto同上
‖parallel双线号
／virgule斜线号
＆ampersand=and～swungdash代字号
section;division分节号
→arrow箭号；参见号
＋plus加号；正号
－minus减号；负号
±plusorminus正负号
×ismultipliedby乘号
÷isdividedby除号
＝isequalto等于号
≠isnotequalto不等于号
≡isequivalentto全等于号
≌isequaltoorapproximatelyequalto等于或约等于号≈isapproximatelyequalto约等于号
＜islessthan小于号
＞ismorethan大于号
≮isnotlessthan不小于号
≯isnotmorethan不大于号
≤islessthanorequalto小于或等于号
≥ismorethanorequalto大于或等于号
％percent百分之…
‰permill千分之…
∞infinity无限大号
∝variesas与…成比例
√(square)root平方根
∵since;because因为
∴hence所以
∷equals,as(proportion)等于，成比例
∠angle角
⌒semicircle半圆
⊙circle圆
○circumference圆周
πpi圆周率
△triangle三角形
⊥perpendicularto垂直于
∪unionof并，合集
∩intersectionof交，通集
∫theintegralof…的积分
∑(sigma)summationof总和
°degree度
′minute分
″second秒
＃
number…号
℃Celsiussystem摄氏度
＠at单价
x"是xprime(比如转置矩阵)x"是xdouble-prime数学符号大全(2009-04-1711:16:36)
标签：数学符号
整函数
圆周率
常用对数
导函数
教育
分类：教育与讽刺快考试了该出卷子了，复杂的数学符号好难啊
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没有的请大家添在留言栏吧，数学符号大全
1几何符号
⊥
∥
∠
⌒
⊙
≡
2代数符号
∝
∧
∨
～
∫
≠
3运算符号
×
÷
√
±
4集合符号
∪
∩
∈
5特殊符号
∑
π（圆周率）
6推理符号
|a|
⊥
∽
△
≡
±
≥
≤
↑
→
↓
↖
∧
∨
&;
①②
③④
⑤⑥
Γ
Δ
Θ
Λ
Φ
Χ
Ψ
Ω
α
β
γ
δ
ι
κ
λ
μ
ξ
ο
π
ρ
χ
ψ
ω
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Ⅱ
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Ⅳ
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Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
Ⅹ
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Ⅻ
≌
≤∠
∈
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Ξ
ν
△
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∞
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∪
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⑨
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Ο
Π
ζ
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υ
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ⅰ
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∈
∏
∑
∕
√
∝
∞
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∥
∧
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∩
∪
∫
∮
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∵
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≡
≤
≥
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≧
≮
≯
？
⊙
⊥
⊿
⌒
℃
指数0123：º¹²³
符号
意义
∞
无穷大
PI
圆周率
|x|
函数的绝对值
∪
集合并
∩
集合交
≥
大于等于
≤
小于等于
≡
恒等于或同余
ln(x)
自然对数
lg(x)
以2为底的对数
log(x)
常用对数
floor(x)
上取整函数
ceil(x)
下取整函数
xmody
求余数
{x}
小数部分x-floor(x)
∫f(x)δx
不定积分
∫[a:b]f(x)δx
a到b的定积分
[P]
P为真等于1否则等于11∑[1≤k≤n]f(k)
对n进行求和,可以拓广至很多情况
如：∑[nisprime][n<10]f(n)
∑∑[1≤i≤j≤n]n^2limf(x)(x->?)
求极限
f(z)
f关于z的m阶导函数
C(n:m)
组合数,n中取m
P(n:m)
排列数
m|n
m整除n
m⊥n
m与n互质
a∈A
a属于集合A
#A
集合A中的元素个数
∈
∏
∑
√
∞
∠
∣
∥
∧
∨
∩
∪
∫
∮
∴
∵
∽
≈
≌
≠
≡
≤
≥
≦
≧
？
⊙
⊥
•数学符号大全收藏
运算符：
±×÷∶∫∮
≡
≌
≈∽
∝
≒
≠≡
≤≥≦
≧
≮
≯
／
√‰∑∏＆
关系运算符：
∧
∨
集合符号：
∪
∩
∈
∣
序号：
①②
③④
⑤⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
Ⅹ
Ⅺ
Ⅻ
ⅰ
ⅱ
ⅲ
ⅳ
ⅴ
ⅵ
ⅶ
ⅷ
ⅸ
ⅹ
≈
㈠
㈡
㈢
㈣
㈤
㈥
㈦
㈧
㈨
㈩
其它：
～±×÷∑
∪
∩
∈
√
∥
∠
⊙
≡
≌
≈
∽
≠
≮
≯
≤
≥
∞
∵
∴
♂
♀
℃
￠
‰
☆
★
○
●
◎
◇
◆
□
■
△
▲
→
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
Ⅹ
Ⅺ
Ⅻ
＊
Π
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩ
αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω
←
↑
→
↓
↖
↗
↘
↙
∞∴
∵
∶
∷
°′″℃
⊕
⊿
△
⊙
∠
⌒
⊥
∥
〔
〕
〈
〉
《》
「
」
『
』
〖
〗
【
】
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［
］
｛
｝
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☆
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←↑→↓↖↗↘↙∈∏∑⊥⊿∕√∝∞∟∠∣∥∧∨∩∪
12∫∮∴∵∶∷∽≈≌≒≠≡≤≥≦≧≮≯
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﹛﹜﹤﹥﹝﹞〔〕［］｛｝〈〉《》「」『』【】〖〗
ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩ
αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω
АБВГДЕЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧ
ШЩЪЫЬЭЮЯЁ
абвгдежзийклмнопрстуфхцч
шщъыьэюяё
a（≤A
表示a为A的子集；
A≥）a
表示A包含a；
a（＜
A
表示a为A的真子集；
A＞）a
表示a为A的真子集；
∑(n=p,q)f(n)表示f(n)的n从p到q逐步变化对f(n)的连加和，如果f(n)是有结构式，f(n)应外引括号；
∑(n=p,q;r=s,t)f(n,r)表示
∑(r=s,t)[∑(n=p,q)f(n,r)],
如果f(n，r)是有结构式，f(n，r)应外引括号；
∏(n=p,q)f(n)表示f(n)的n从p到q逐步变化对f(n)的连乘积,
如果f(n)是有结构式，f(n)应外引括号；
∏(n=p,q;r=s,t)f(n,r)表示
∏(r=s,t)[∏(n=p,q)f(n,r)],
如果f(n，r)是有结构式，f(n，r)应外引括号；
lim(x→u)f(x)表示
f(x)的x趋向
u时的极限,
如果f(x)是有结构式，f(x)应外引括号；
lim(y→v;x→u)f(x,y)表示
lim(y→v)[lim(x→u)f(x,y)],
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∫(a,b)f(x)dx表示对
f(x)从
x=a至
x=b的积分,
如果f(x)是有结构式，f(x)应外引括号；
∫(c,d;a,b)f(x,y)dxdy表示∫(c,d)[∫(a,b)f(x,y)dx]dy,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∫(L)f(x,y)ds表示
f(x,y)在曲线
L上的积分,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∫∫(D)f(x,y,z)dσ表示
f(x,y,z)在曲面
D上的积分,
如果f(x，y，z)是有结构式，f(x，y，z)应外引括号；
∮(L)f(x,y)ds表示
f(x,y)在闭曲线
L上的积分,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∮∮(D)f(x,y,z)dσ表示
f(x,y,z)在闭曲面
D上的积分,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∪(n=p,q)A(n)表示n从p到q之A(n)的并集，如果A(n)是有结构式，A(n)应外引括号；
∪(n=p,q;r=s,t)A(n,r)表示
∪(r=s,t)[∪(n=p,q)A(n,r)],
如果A(n，r)是有结构式，A(n，r)应外引括号；
∩(n=p,q)A(n)表示n从p到q逐步变化对A(n)的交集,
如果A(n)是有结构式，A(n)应外引括号；
∩(n=p,q;r=s,t)A(n,r)表示
∩(r=s,t)[∩(n=p,q)A(n,r)],
如果A(n，r)是有结构式，A(n，r)应外引括号；
13
篇五：a=ekααt
【线性代数】06-Jordan标准型 现在就来研究将空间分割为不变?空间的?法，最困难的是我们还不知道从哪?着?。你可能想到从循环?空间出发，?块?块地进?分割，但这个?案的存在性和唯?性都不能解决。不变?空间分割不仅要求每个?空间V"是不变的，还隐含要求V"之外元素的像不落在V"中，这?条就导致从局部开始分割的?案是?不通的。另外，这种?法也?法保障分割的唯?性，因为分割过程依赖每个?空间的选取。1.化零多项式 看来还是得从全局出发，期望找到某个属性，它能将空间完美分割。那么?先要将整个空间V放置在\mathscr{A}的某个属性下，然后按这个属性再进?细分。这?步该如何跨出是很艰难的，想必历史上也并不是?蹴?就得来的。前?我们已经做了?些简单的铺垫，最重要的?个是，变换的多项式所具有的不变?空间。你可能问过??，对?般的变换，是否有对其成?的恒等式？如果可以在多项式中找到这个等式就更好了。 想法是很好的，但在?向结论时却需要?个巧妙的构造，我不知道数学家们是如何得到的，毕竟??的素养还不够。回顾特征矩阵\lambdaI-A，你既可以把它看成是矩阵系数的多项式，也可以看成是以多项式为元素的矩阵。但在所有的变形中，其实我们默认\lambda是域K中的元素，?不是任意的不定元。所以变形得到的等式也不能草率地当作?般多项式看待，尤其不能随便??个矩阵带?到式?中，这?点?定要弄清楚。 但庆幸的是，还真有?个特殊情况，矩阵是可以代?多项式等式的。考察特征矩阵的任意?个等式（1），展开左式并对应到右式，得到?系列等式（2）。等式两边分别乘上I,A,A^2,\cdots并相加，就得到0=f(A)，这就仿佛是将矩阵A代?了等式（1）。但这种代??般是很难成?，它是得益于特征矩阵的特殊形式，我们可以把这个有趣的性质当做结论，(\lambdaI-A)g(\lambda)=(\lambdaI-A)(\lambda^mB_m+\lambda^{m-1}B_{m-1}+\cdots+B_0)=\lambda^nC_n+\lambda^{n-1}C_{n-1}+\cdots+C_0=f(\lambda)\tag{1}-AB_0=C_0;\;B_0-AB_1=C_1;\;B_1-AB_2=C_2;\cdotsB_{n-1}-AB_n=C_n;\;B_n-AB_{n+1}=0;\cdotsB_m=0\tag{2} 特别地，取g(\lambda)为\lambdaI-A的伴随矩阵，等式右边就是\varphi(\lambda)I，从?有Hamilton-Caylay定理成?（公式（3），请参考抽象代数多项式?的余数定理）。定理的线性变换形式是\varphi(\mathscr{A})=0，这个公式对整个空间V都成?，或者说V是变换\varphi(\mathscr{A})的核，我们就从这?开始寻找进?步的结论。\varphi(\lambda)=|\lambdaI-A|\quad\Rightarrow\quad\varphi(A)=0\tag{3} 更?般地，满?f(\mathscr{A})=0的多项式称为\mathscr{A}的化零多项式，其中次数最?的??多项式叫做\mathscr{A}的最?多项式，记作d(\lambda)。这些定义对矩阵同样成?，?且显然最?多项式也是相似变换的不变量。类似抽象代数中的分析，容易知道最?多项式是唯?的，且它整除所有的化零多项式，从?有d(\lambda)\mid\varphi(\lambda)。
特征多项式和最?多项式还有?个有趣的应?，先给它们?个统?的形式f(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_0，则f(A)=0。对可逆矩阵A，易知a_0\ne0，将a_0I移到等式右边，左边提取出A便有等式（4）成?。根据这个等式可以?较容易地计算A^{-1}。A(A^{n-1}+a^{n-1}A^{n-2}+\cdots+a_1I)=a_0I\tag{4}
?求证：循环?空间的特征多项式即最?多项式，并求上?篇中式（18）的特征多项式。2.根?空间 更?般地，我们考察任何多项式f(\lambda)，设它有互质分解f(\lambda)=f_1(\lambda)f_2(\lambda)，即有式（5）成?。考察不变?空间W=\text{Ker}\,f(\mathscr{A})和W_i=\text{Ker}\,f_i(\mathscr{A})，?先显然有W_i\subseteqW。对任何\alpha\inW，有f_1(\mathscr{A})f_2(\mathscr{A})(\alpha)=0，再由公式（5）知\alpha可按式（6）进?分解，但显然\alpha_i\inW_i，所以有W=W_1+W_2。g_1(\lambda)f_1(\lambda)+g_2(\lambda)f_2(\lambda)=1\tag{5}\alpha=g_1(\mathscr{A})f_1(\mathscr{A})(\alpha)+g_2(\mathscr{A})f_2(\mathscr{A})(\alpha)=\alpha_2+\alpha_1\tag{6} 现在设\beta\inW_1\capW_2，再次?公式（5）有\beta=g_1(\mathscr{A})f_1(\mathscr{A})(\beta)+g_2(\mathscr{A})f_2(\mathscr{A})(\beta)=0，从?W_1\capW_2=0，这就是说W=W_1\oplusW_2。以此归纳，如果f(\lambda)有互质分解f_1(\lambda)f_2(\lambda)\cdotsf_s(\lambda)，则有公式（7）成?。\text{Ker}\,f(\mathscr{A})=\text{Ker}\,f_1(\mathscr{A})\oplus\text{Ker}\,f_2(\mathscr{A})\oplus\cdots\oplus\text{Ker}\,f_s(\mathscr{A})\tag{7} 现在来看最?多项式d(\lambda)，在代数闭域（复数域）中有互质分解（8），将公式（7）应?到式（8）便有式（9）成?。其中W_i都是不变?空间，这就找到了我们所要的分割。虽然这个分割保证了存在性和唯?性，但还没有达到最?分割，相似矩阵也没有找到简单的标准型，这个任务到下?段再解决。d(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{r_s}\tag{8}V=W_{\lambda_1}\oplusW_{\lambda_2}\oplus\cdots\oplusW_{\lambda_s},\quadW_{\lambda_i}=\text{Ker}\,(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{I})^{r_i}\tag{9} 有些细节我们还需要再讨论?下，最?多项式和特征多项式有什么关系？最?究竟是什么最?？特征多项式根的重数?代表什么？?先易知W_{\lambda_i}都不为零，否则d(\lambda)去掉(\lambda-\lambda_i)^{r_i}后仍然是化零多项式，这与最?多项式?盾。W_{\lambda_i}?零等价于说A-\lambda_iI不是满秩的，从?\lambda_i是A的特征值。反之根据公式（9）知，\lambda_1,\cdots,\lambda_s包含了所有A的特征值，否则直和包含不了所有的特征?空间。从?最?多项式与特征多项式有完全?样的根，且由整除性知，特征多项式根的重数不?于最?多项式根的重数（公式（10））。\varphi(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{t_1}(\lambda-\lambda_2)^{t_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{t_s},\quadt_i\geqslantr_i>0\tag{10} 现在设U_k=\text{Ker}\,(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{I})^k，显然U_1就是\lambda_i的特征?空间，并且有U_1\subseteqU_2\subseteqU_3\subseteq\cdots。这个序列不会?穷递增，且容易证明等式?旦U_m=U_{m+1}成?，等式会?直成?。如果m>r_i，则U_m\supsetW_{\lambda_i}且U_m与其它W_{\lambda}?交集，这与公式（9）?盾。如果m 和W的基正好是V?组完整的基，故有式（15）成?。\left<\mathscr{A}^{s_1-1}\alpha_1+W,\cdots,\alpha_1+W\right>\oplus\cdots\oplus\left<\mathscr{A}^{s_t-1}\alpha_t+W,\cdots,\alpha_t+W\right>\tag{14}V=W\oplusU,\quadU=\left<\mathscr{A}^{s_1-1}\alpha_1,\cdots,\alpha_1,\cdots,\mathscr{A}^{s_t-1}\alpha_t,\cdots,\alpha_t\right>\tag{15} 由于式（14）中每个?集在诱导映射下都是强循环?空间，故有\mathscr{A}^{s_i}\alpha_i\inW。考察它们的相关性，设k_1\mathscr{A}^{s_1}\alpha_1+\cdots+k_t\mathscr{A}^{s_t}\alpha_t=0，即有式（16）成?，故\beta\inW，?显然\beta\inU。由式（15）知\beta=0，所以k_i=0，\mathscr{A}^{s_i}\alpha_i线性?关。\mathscr{A}\beta=0,\quad\beta=k_1\mathscr{A}^{s_1-1}\alpha_1+\cdots+k_t\mathscr{A}^{s_t-1}\alpha_t\tag{16} 将\mathscr{A}^{s_i}\alpha_i扩展为W的?组基\mathscr{A}^{s_1}\alpha_1,\cdots,\mathscr{A}^{s_t}\alpha_t,\gamma_1,\cdots,\gamma_r，考虑到\left<\mathscr{A}^{s_i}\alpha_i,\cdots,\alpha_i\right>和\left<\gamma_j\right>都是强循环?空间，故V可以分解为如式（17）强循环?空间的直和。更?般地描述为公式（18）(19)，其中每个强循环?空间的阶数s_i+1不?于幂零变换的次数m。V=\left<\mathscr{A}^{s_1}\alpha_1,\cdots,\alpha_1\right>\oplus\cdots\oplus\left<\mathscr{A}^{s_t}\alpha_t,\cdots,\alpha_t\right>\oplus\left<\gamma_1\right>\oplus\cdots\oplus\left<\gamma_r\right>\tag{17V=\left<\mathscr{A}^{s_1}\alpha_1,\cdots,\alpha_1\right>\oplus\cdots\oplus\left<\mathscr{A}^{s_l}\alpha_l,\cdots,\alpha_l\right>\tag{18}l=\dim{(\text{Ker}\,\mathscr{A})}=n-\text{rank}\,\mathscr{A}\tag{19} 进?步，根据J_n的特点，我们其实还可以具体求得k(1\leqslantk\leqslantm)阶循环?空间的个数N(k)。?先显然有公式（20）的系列等式成?，通过简单的计算可以得到公式（21），这个公式说明了幂零矩阵分解得到的循环?空间的个数和次数都是确定的，也可以说这种分解是唯?的。\text{rank}\,\mathscr{A}^0=N(1)\cdot1+N(2)\cdot2+\cdots+N(m)\cdotm\\\text{rank}\,\mathscr{A}^1=N(2)\cdot1+N(3)\cdot2+\cdots+N(m)\cdot(m-1)\\\text{rank}\,\mathscr{A}^2=N(3)\cdot1+N(4)\cdot2+\cdots+N(m)\cdot(m-2)\\\cdots\quad\cdots\tag{20}N(k)=\text{rank}\,\mathscr{A}^{k-1}+\text{rank}\,\mathscr{A}^k-2\,\text{rank}\,\mathscr{A}^{k+1}\tag{21}4.Jordan标准型及其计算4.1Jordan标准型 现在回到线性空间V在?般线性变换\mathscr{A}下的分解，前?已经知道，它可以按照特征值分解为?个根?空间W_{\lambda_i}，?根?空间在变换\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{I}下?是幂零变换。幂零变换的分解上?也彻底解决，结合这两种分解容易知道，线性变换\mathscr{A}的矩阵相似于如下矩阵。其中对?线都是特征值，每个特征值的个数正是它的代数重数，去掉对?线后就是对应幂零变换的分解。A\sim\begin{bmatrix}J_{n_{11}}(\lambda_1)&&&&&&\\&\ddots&&&&&\\&&J_{n_{1k_1}}(\lambda_1)&&&&\\&&&\ddots&&&\\&&&&J_{n_{s1}}(\lambda_s)&&\\&&&&&\ddots&\\&&&&&&J_{n_{sk_s}}(\lambda_s)\end{bmatrix},\quadJ_n(\lambda)=\begin{bmatrix}\lambda&1&&\\&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda\end{bmatrix}_{n\timesn}\tag{21} 这个矩阵称为Jordan标准型，其中每?个矩阵块J_n(\lambda)也叫Jordan块。不过要注意，我们讨论根?空间的完全分解时，是在代数闭域（复数域）中进?的，所以只能说任何矩阵在代数闭域中相似于?个Jordan标准型。但其实对具体的矩阵，这个条件可以弱化为：域是变换的特征多项式的正规扩域（在域中可完全分解）。4.2\lambda-矩阵和初等因? 那么具体如何求Jordan标准型呢？只需先求得所有特征值，再利?公式（21）求每个Jordan块的阶数，具体过程就不赘述了。这个?法的计算复杂度较?，我们需要研究别的?法。通过结论我们已经知道，Jordan标准型由特征值和每个Jordan块的阶数n_{ik_j}完全决定，这些参数就是矩阵相似意义下的全系不变量。为了求得标准型，需要设计?个全系不变量，它包含了所有这些参数。 现在能想到的最接近的量就是特征多项式（10）了，它包含了所有特征值和每个特征值的代数重数，要想得到更完整的参数，我们不妨把?光放到特征多项式的源头上：特征矩阵\lambdaI-A。为此先讨论更?般的、以域F上的多项式f(\lambda)为元素的矩阵A(\lambda)，并称之为\lambda-矩阵。这样的矩阵同样可以定义它的秩和逆矩阵，只不过逆矩阵只有在其?列式为常数时才存在。 \lambda-矩阵同样可以进?初等变换并定义初等矩阵：P(i,j),P(i,j(f(\lambda))),P(i(k))，但要注意，为了使初等变换可逆，每??（列）只允许乘以?零常数k\inF。在抽象代数中我们知道，域上多项式环是?个欧式环，其上可以定义最?公约数（?项系数为1），还可以进?辗转相除法。设A(\lambda)?零元素的最?公约数为d_1(\lambda)，可以证明初等变换能把A(\lambda)转换成\begin{bmatrix}d_1(\lambda)&0\\0&A_1(\lambda)\end{bmatrix}，其中A_1(\lambda)的元素都是d_1(\lambda)的倍数。继续这个过程可以将A(\lambda)转换为如下Smith标准型，其中r显然为A(\lambda)的秩。\begin{bmatrix}d_1(\lambda)&&&\\&\ddots&&\\&&d_r(\lambda)&\\&&&0\end{bmatrix},\quadd_i(\lambda)\midd_{i+1}(\lambda)\tag{22} 类似于?般矩阵，我们将可以通过初等变换互相转换的\lambda-矩阵称为相抵的，所以任何\lambda-矩阵都相抵于式（22）中的矩阵。另外显然可逆\lambda-矩阵相抵于单位矩阵，也就是说可逆\lambda-矩阵可以分解为?系列初等矩阵相乘，这样A(\lambda)和B(\lambda)相抵其实等价于：存在可逆\lambda-矩阵P(\lambda),Q(\lambda)，使得公式（23）成?。B(\lambda)=P(\lambda)A(\lambda)Q(\lambda)\tag{23} 对于?般矩阵的相抵，秩r完全确定了?个等价类，它是相抵矩阵的全系不变量。由于初等变换不改变元素的最?公约数，故式（22）中的d_i(\lambda)其实是确定的，它们也是相抵\lambda-矩阵的全系不变量，被称为\lambda-矩阵的不变因?。现在回到特征矩阵A(\lambda)=\lambdaI-A_n，并设A的元素在代数闭域F中，由于其?列式\varphi(\lambda)?零，所以A(\lambda)是满秩的。由于相抵\lambda-矩阵的?列式不变，故有式（24）成?。\varphi(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdotsd_n(\lambda),\quadd_i(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{e_{i1}}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{e_{is}}\tag{24} ?先显然有（25）左式成?（t_i为\lambda_i的代数重数），再由d_i(\lambda)\midd_{i+1}(\lambda)可知还有（25）右式成?。由于d_i(\lambda)是全系不变量，故所有(\lambda-\lambda_j)^{e_{ij}}其实是完全确定的，其中不为1那些项被称为特征矩阵的初等因?。显然所有初等因?组成的集合也是特征矩阵的全系不变量，被称为初等因?组。t_i=e_{1i}+e_{2i}+\cdots+e_{ni},\quade_{1i}\leqslante_{2i}\leqslant\cdots\leqslante_{ni}\tag{25}4.3相似与相抵 现在你可能眼前?亮，初等因?和Jordan块有什么关系？它们是不是??对应的？我们费这么?劲讨论初等因?，当然是有?的的。正如你所料，它们之间存在着对应关系，我们需要两个结论来得到这样的关系。 先来看看Jordan标准型的初等因?是什么，讨论中只需进?简单的初等变换即可，过程就不细说了。第?步要证明Jordan块J_n(\lambda_0)的初等因?只有(\lambda-\lambda_0)^n，第?步证明分块对?矩阵\begin{bmatrix}A&\\&B\end{bmatrix}的初等因?是A,B初等因?之并，第三步就推导出Jordan标准型（23）的初等因?正是所有Jordan块的初等因?。 这样?来，要求矩阵A的Jordan标准型J，只需求J的初等因?。但我们?上只有A，并且知道它与J相似，你?然想问，\lambdaI-A和\lambdaI-J的初等因?有什么关系呢？更?般地，设A\simB，即存在可逆矩阵P，使得A=PBP^{-1}。那么有\lambdaI-A=\lambdaI-PBP^{-1}=P(\lambdaI-B)P^{-1}，从?\lambdaI-A和\lambdaI-B相抵。这就说明了相似矩阵的特征矩阵是相抵的，对应的初等因?也相同。以上结论就将求解矩阵A的Jordan标准型的问题，转化成了求\lambdaI-A初等因?的问题。 其实反过来，如果\lambdaI-A和\lambdaI-B相抵，它们的初等因?相同，从?A,B的Jordan标准型相同，这就有A\simB。所以矩阵相似和特征矩阵相抵是等价的，初等因?是相似或相抵的全系不变量。这?再介绍?个证明必要性的?法，它对任何数域都成?，证明的步骤还可以?来求过渡矩阵。设存在可逆\lambda-矩阵P(\lambda),Q(\lambda)，使得\lambdaI-A=P(\lambda)(\lambdaI-B)Q(\lambda)，即(\lambdaI-A)Q^{-1}(\lambda)=P(\lambda)(\lambdaI-B)=\lambdaP(\lambda)-P(\lambda)B。根据公式（1）的结论将A带?等式得到式（26），这也证明了A\simB，且过渡矩阵为P(\lambda)。A=P(A)\,B\,P^{-1}(A)\tag{26} ?求证：复?阵A相似于它的转置A"，并求过渡矩阵； ?利?Jordan标准型求复?阵的最?多项式。5.实?阵的标准型 相对来说，实?阵其实更常?，虽然它不?定能有Jordan标准型，但我们还是可以得到?些有?的结论。当然实?阵只是复?阵的?个特例，充分利?复?阵的已有结论会简化很多讨论。先来看两个在复数域上相似的实?阵A,B，则存在实?阵P,Q使得下式成?左边，化简得到AP=PB,AQ=QB，并进?有右边成?。A=(P+iQ)\,B\,(P+iQ)^{-1}\quad\Leftrightarrow\quadA(P+\lambdaQ)=(P+\lambdaQ)B\tag{27} 设\varphi(\lambda)=|P+\lambdaQ|，因为\varphi(i)\ne0，故\varphi(\lambda)?零。从?必定有实数\lambda_0使得\varphi(\lambda_0)\ne0，这时P+\lambda_0Q可逆，从?有式（28）成?。这就说明了A,B是实相似的，反之如果A,B实相似，它们当然复相似，所以实?阵的实相似和复相似是等价的。这个结论告诉我们，想要讨论式?阵的“标准”实相似?阵，其实只需要找到与Jordan标准型复相似的“标准”实?阵。A=(P+\lambda_0Q)\,B\,(P+\lambda_0Q)^{-1}\tag{28} 我们知道实系数多项式在实数域的因式最多为?次，从?实?阵的特征矩阵在实数域上的初等因?为(\lambda-\lambda_0)^n或者为(\lambda^2+a\lambda+b)^n。对于后者，它在复数域中表现为成对出现的初等因?(\lambda-\lambda_0)^n,(\lambda-\bar{\lambda}_0)^n。为了把这样的初等因?再合并成实数域上的(\lambda^2+a\lambda+b)^n，我们?然考虑将(\lambda-\lambda_0)^n,(\lambda-\bar{\lambda}_0)^n的Jordan块进?合并，也就是求与A=\begin{bmatrix}J_n(\lambda_0)&\\&J_n(\bar{\lambda}_0)\end{bmatrix}相似的实?阵。 如式（29）所?，其实Jordan块还有另?个结构?较好的相似矩阵，这个矩阵使得初等变换很?便。它使得对A相似矩阵的讨论，等价于对B=\begin{bmatrix}\lambda_0M&\\&\bar{\lambda}_0M\end{bmatrix}相似矩阵的讨论。\begin{bmatrix}1&&&\\&\lambda^{-1}&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda^{-(n-1)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda&1&&\\&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&&&\\&\lambda&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda^{(n-1)}\end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}1&1&&\\&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&1\end{bmatrix}=\lambdaM_n\tag{29} 设\lambda_0=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)，B的初等因?为\lambda^2-2\rho\cos\theta\lambda+\rho^2=(\lambda-\rho\cos\theta)^2+(\rho\sin\theta)^2，容易构造出它也是C=\begin{bmatrix}\rho\cos\theta&\rho\sin\theta\\-\rho\sin\theta&\rho\cos\theta\end{bmatrix}的初等因?。这样就有B\simC，进?我们就得到了与A相似的实?阵（30），最终也就得到实?阵的标准型。Processingmath:0%\begin{bmatrix}J_n(\lambda_0)&\\&J_n(\bar{\lambda}_0)\end{bmatrix}\sim\rho\begin{bmatrix}\cos\thetaM_n&\sin\thetaM_n\\-\sin\thetaM_n&\cos\thetaM_n\end{bmatrix}\tag{30}
